Men laget tappade spelet i andra halvlek och förlorade med 2-3 (1-0) i lördagens match på Mamre IP.
Målgörare för hemmalaget var Simon Cakar och Dzenis Halilovic, och för bortalaget Ayoub Abassi 2 och Daniel Johansson.
Med två omgångar kvar är Assyriska IF sist i serien, medan IFK Eskilstuna är på nionde plats.
Assyriska IF tar sig an FC Gute i nästa match hemma lördag 10 oktober 14.30.